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二是甘岑(Gentzen)式的自然推理系统。 Unicode GDPR 法律信息 我们网站上的所有信息都经过仔细检查。我们尽力提供最新的信息报价，并且在内容和全部方面都是正确的。但是，不能完全排除错误的发生。因此，完整性，正确性和实际性的保证不能被接受。 隐私： EFT网站的使用通常是可能的，而不公开个人信息。 如果您向我们发送消息或电子邮件，则此电子邮件地址和您的电子邮件地址将仅用于与您的通信。 每次访问我们的服务器时，都会存储数据以用于统计和安全目的。我们只记录您的互联网服务提供商的IP地址，日期和时间以及您在此限制访问的网站。这些数据仅用于改进我们的互联网服务，并未被评估为可归因于您。我们保留启动个人数据的推导中严重违反我们的使用和未经授权的访问或尝试访问我们的服务器与个人数据集的帮助方面的活动的权利。 其他提供者的内容： 到第三方网站的内容在这些网页上的链接（“外部内容”）是由EFT创建最好的知识，并以最大的关怀和仅仅提供访问“外部内容”。特别关注第三方的可信度以及“外来内容”的准确性和合法性。 然而，由于该网页内容是动态的，并且可以随时更改，是一个不断监测到链路已经建立，并不总是可能的所有内容。因此，EFT明确拒绝链接到自己网站的第三方网站的内容。对于使用或不使用“第三方内容”造成的损害，所提及的页面的相应提供者应承担全部责任。 责任限制： 以下责任限制适用于所提供的要约：电子转帐不承担因使用或不使用所提供信息而导致的损害赔偿责任。在访问或下载数据时，由于计算机病毒或安装或使用软件而造成的任何损害不承担任何责任。 这两个系统各有所长， 前者更能体现公理化的思想，但其推理过程比较繁琐， 后者形式推理比较自然，但是规则较多。 下面只说命题演算的自然推理系统。 语法： （1）可数个命题符号：p1,p2,⋯p_1,p_2,\cdotsp​1​​,p​2​​,⋯ （2）5个联接词符号：¬,∨,∧,→,↔ eg,\lor,\land, o,\leftrightarrow¬,∨,∧,→,↔ （3）2个辅助符号：),(),(),( 公式：（BNF） α::=p∣(¬α)∣(α1∨α2)∣(α1∧α2)∣(α1→α2)∣(α1↔α2)\alpha::=p|( eg\alpha)|(\alpha_1\lor\alpha_2)|(\alpha_1\land\alpha_2)|(\alpha_1 o\alpha_2)|(\alpha_1\leftrightarrow\alpha_2)α::=p∣(¬α)∣(α​1​​∨α​2​​)∣(α​1​​∧α​2​​)∣(α​1​​→α​2​​)∣(α​1​​↔α​2​​) 推导规则： （1）包含律：α∈ΓΓ⊢αrac{\alpha\in\Gamma}{\Gammadash\alpha}​Γ⊢α​​α∈Γ​​ （2）¬ eg¬消去律：Γ,¬α⊢β;Γ,¬α⊢¬βΓ⊢αrac{\Gamma, eg\alphadash\beta;\Gamma, eg\alphadash eg\beta}{\Gammadash\alpha}​Γ⊢α​​Γ,¬α⊢β;Γ,¬α⊢¬β​​ （3）→ o→消去律：Γ⊢(α→β);Γ→αΓ⊢βrac{\Gammadash(\alpha o\beta);\Gamma o\alpha}{\Gammadash\beta}​Γ⊢β​​Γ⊢(α→β);Γ→α​​ （4）→ o→引入律：Γ,α⊢βΓ⊢α→βrac{\Gamma,\alphadash\beta}{\Gammadash\alpha o\beta}​Γ⊢α→β​​Γ,α⊢β​​ （5）∨\lor∨消去律：Γ,α⊢γ;Γ,β⊢γΓ,α∨β⊢γrac{\Gamma,\alphadash\gamma;\Gamma,\betadash\gamma}{\Gamma,\alpha\lor\betadash\gamma}​Γ,α∨β⊢γ​​Γ,α⊢γ;Γ,β⊢γ​​ （6）∨\lor∨引入律：Γ⊢αΓ⊢α∨β;Γ⊢β∨αrac{\Gammadash\alpha}{\Gammadash\alpha\lor\beta;\Gammadash\beta\lor\alpha}​Γ⊢α∨β;Γ⊢β∨α​​Γ⊢α​​ （7）∧\land∧消去律：Γ⊢α∧βΓ⊢α;Γ⊢βrac{\Gammadash\alpha\land\beta}{\Gammadash\alpha;\Gammadash\beta}​Γ⊢α;Γ⊢β​​Γ⊢α∧β​​ （8）∧\land∧引入律：Γ⊢α;Γ⊢βΓ⊢α∧βrac{\Gammadash\alpha;\Gammadash\beta}{\Gammadash\alpha\land\beta}​Γ⊢α∧β​​Γ⊢α;Γ⊢β​​ （9）↔\leftrightarrow↔消去律：Γ⊢α↔β;Γ⊢αΓ⊢βrac{\Gammadash\alpha\leftrightarrow\beta;\Gammadash\alpha}{\Gammadash\beta}​Γ⊢β​​Γ⊢α↔β;Γ⊢α​​，Γ⊢α↔β;Γ⊢βΓ⊢αrac{\Gammadash\alpha\leftrightarrow\beta;\Gammadash\beta}{\Gammadash\alpha}​Γ⊢α​​Γ⊢α↔β;Γ⊢β​​ （10）↔\leftrightarrow↔引入律：Γ,α⊢β;Γ,β⊢αΓ⊢α↔βrac{\Gamma,\alphadash\beta;\Gamma,\betadash\alpha}{\Gammadash\alpha\leftrightarrow\beta}​Γ⊢α↔β​​Γ,α⊢β;Γ,β⊢α​​ 例子： 使用这些推理规则，我们就可以从一些合法的符号串， 推导出另一些合法的符号串了。 （1）α→β,β→γ,α⊢α→β\alpha o\beta,\beta o\gamma,\alphadash\alpha o\betaα→β,β→γ,α⊢α→β：包含律 （2）α→β,β→γ,α⊢α\alpha o\beta,\beta o\gamma,\alphadash\alphaα→β,β→γ,α⊢α：包含律 （3）α→β,β→γ,α⊢β\alpha o\beta,\beta o\gamma,\alphadash\betaα→β,β→γ,α⊢β：→ o→消去律，式（1），式（2） （4）α→β,β→γ,α⊢β→α\alpha o\beta,\beta o\gamma,\alphadash\beta o\alphaα→β,β→γ,α⊢β→α：包含律 （5）α→β,β→γ,α⊢γ\alpha o\beta,\beta o\gamma,\alphadash\gammaα→β,β→γ,α⊢γ：→ o→消去律，式（3），式（4） （6）α→β,β→γ,α⊢α→γ\alpha o\beta,\beta o\gamma,\alphadash\alpha o\gammaα→β,β→γ,α⊢α→γ：→ o→引入律，式（5） 有了这些以后，我们就可以定义什么是一个证明了。 证明序列： 若有限序列，Γ1⊢α1,Γ2⊢α2,⋯,Γn⊢αn\Gamma_1dash\alpha_1,\Gamma_2dash\alpha_2,\cdots ,\Gamma_ndash\alpha_nΓ​1​​⊢α​1​​,Γ​2​​⊢α​2​​,⋯,Γ​n​​⊢α​n​​满足， （1）Γ1,Γ2,⋯,Γn\Gamma_1,\Gamma_2,\cdots ,\Gamma_nΓ​1​​,Γ​2​​,⋯,Γ​n​​为有限公式集 （2）α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_nα​1​​,α​2​​,⋯,α​n​​为公式 （3）每个Γi⊢αi(1≤i≤n)\Gamma_idash\alpha_i(1\leq i\leq n)Γ​i​​⊢α​i​​(1≤i≤n)都是它之前若干个Γj⊢αj(1≤j